【1億円を断った男】ミレニアム懸賞問題を証明した数学の天才の素顔

クレイ数学研究所は2000年に数学上の7つの未解決問題に1億円の懸賞金をかけると発表しました。
そのうちの「ポアンカレ予想」は2年後にロシアの数学者グレゴロー・ペレルマンによって証明されましたが、14年たった今もなお残りの6つは解かれていません。

グレゴリー・ペレルマンという男

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ミレニアム懸賞問題の一つを証明した彼は、その賞金の1億円も、その業績によって賞される予定であった数学のノーベル賞と呼ばれるフィールズ賞も、
「自分の証明が正しければ賞は必要ない」
と断りました。
その後は故郷で母親と共にわずかな貯金と母親の年金で細々と生活しています。

彼の気持ち、理解できますか？



またミレニアム懸賞問題を解いてみたい！という方のために今回その7つの未解決問題の概要を紹介。
是非とも解いて1億円をゲットしてみてください。もしくは子供に教えてみてください。
問題を理解するだけでも一苦労です。

１、ヤン-ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題

  「任意のコンパクトで単純なゲージ群 G に対して R 4 上の自明でないヤン-ミルズ場の量子論が存在し、質量ギャップが存在することを示せるか？」  

  ヤン・ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題とは、任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が \mathbb{R}^4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ、という問題である。存在とは、Streater & Wightman (1964)、Osterwalder & Schrader (1973) や Osterwalder & Schrader (1975) に主張されていることと少なくとも同等な確立された公理的な性質を持つことを意味している。  

引用：wikipedia

２、リーマン予想

  ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が1/2の直線上に存在するのか？  

  最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点は全てリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点から見ればたかだか有限の数表などは零点分布の全容を明らかにするには至らないとして、この数値計算の結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる。  

引用：wikipedia

３、P≠NP予想

  クラスPとクラスNPは等しくないのか？  

  クラスPとは、決定性チューリング機械において、多項式時間で判定可能な問題のクラスであり、クラスNPは、Yesとなる証拠（Witnessという）が与えられたとき、多項式時間でWitnessの正当性の判定（これを検証という）が可能な問題のクラスである。多項式時間で判定可能な問題は、多項式時間で検証可能であるので、P⊆NPであることは明らかであるが、PがNPの真部分集合であるか否かについては明確ではない。証明はまだ無いが、多くの研究者はP≠NPだと信じている。そして、このクラスPとクラスNPが等しくないという予想を「P≠NP予想」という。  

引用：wikipedia

４、ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

  ナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題をの解の存在と滑らかさの問題という。  

引用：wikipedia

５、ホッジ予想

  複素解析多様体のあるホモロジー類（ホッジ類）は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想。  

引用：wikipedia

６、ポアンカレ予想

※解決済

  単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S^3 に同相なのだろうか？  

  2002年から2003年にかけて当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、論文をプレプリント投稿サイトとして著名なarXivにて公表した。そのなかで彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したリッチフロー（Ricci flow）の理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、驚くべきことにサーストンの幾何化予想を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した（と宣言した）。非常に単純に言えば、幾何化予想とは、多様体を8つのピースに分割し、そのピース毎に幾何的性質を調べるというものである。一方で、リッチフローを用いたときに、ピースから全体を構成し直すときに特異点が発生する可能性がある。ペレルマンはこの特異点の発生条件と特異点の性質を調べ、特異点が発生しないような手法を考えた。それが「手術」といわれる方法である。  

  ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という。  

引用：wikipedia,msp.warwick.ac.uk

７、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

  楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致するのか？  

引用：wikipedia


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